Il "Paradosso del Mentitore" (o di Epimenide) e il "Paradosso del Barbiere" di Bertrand Russell: se un foglio dice "Questa frase è falsa", sta dicendo la verità o sta mentendo? E chi fa la barba al barbiere che rade tutti e soli quelli che non si radono da soli?
Approfondimento
Ci sono frasi composte da pochissime parole così semplici che un bambino può capirle all'istante, ma che racchiudono un cortocircuito logico ("autoreferenziale") talmente potente da aver mandato in crisi i fondamenti stessi della matematica moderna nel XX secolo!
1. Il Paradosso del Mentitore (VI secolo a.C.):
Formulato dal filosofo greco Eubulide di Mileto (e legato alla frase del cretese Epimenide "Tutti i Cretesi sono bugiardi"), nella sua versione più pura consiste in quattro sole parole: **"Questa frase è falsa"** (oppure: *"Io in questo momento sto mentendo"*). Proviamo a stabilire se è vera o falsa:
- Se supponiamo che la frase sia **VERA**, allora ciò che afferma corrisponde alla realtà, e poiché afferma di essere falsa, allora deve essere **FALSA**!
- Ma se supponiamo che la frase sia **FALSA**, allora ciò che afferma è il contrario della realtà (non è vero che è falsa), e dunque diventa **VERA**!
Qualunque valore di verità le assegniamo, la frase si ribalta istantaneamente nel suo opposto creando un loop infinito (lo stesso meccanismo usato nei film di fantascienza per mandare in cortocircuito i robot!).
2. Il Paradosso del Barbiere di Bertrand Russell (1901-1918):
Per spiegare al grande pubblico il suo celebre paradosso sulla Teoria degli Insiemi (che mandò in fumo decenni di lavoro del matematico Gottlob Frege proprio mentre il suo libro era in tipografia!), il premio Nobel inglese Bertrand Russell raccontò questa storiella: *"In un villaggio c'è un unico barbiere uomo, il quale ha ricevuto dal sindaco l'ordine tassativo di radere tutti e soltanto gli uomini del villaggio che non si radono da soli"*. La domanda fatale è: **Il barbiere rade sé stesso oppure no?**
- Se il barbiere **SI RADE da solo**, allora fa parte di quelli che si radono da soli, e quindi per legge il barbiere **NON deve radersi**!
- Se invece il barbiere **NON si rade da solo**, allora rientra tra quelli che non si radono da soli, e quindi il barbiere **è obbligato a radersi**!
Fu proprio partendo da questi paradossi che nel 1931 il grande matematico Kurt Gödel dimostrò i suoi celebri "Teoremi di Incompletezza", provando che in ogni sistema matematico esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate all'interno del sistema stesso!
1. Il Paradosso del Mentitore (VI secolo a.C.):
Formulato dal filosofo greco Eubulide di Mileto (e legato alla frase del cretese Epimenide "Tutti i Cretesi sono bugiardi"), nella sua versione più pura consiste in quattro sole parole: **"Questa frase è falsa"** (oppure: *"Io in questo momento sto mentendo"*). Proviamo a stabilire se è vera o falsa:
- Se supponiamo che la frase sia **VERA**, allora ciò che afferma corrisponde alla realtà, e poiché afferma di essere falsa, allora deve essere **FALSA**!
- Ma se supponiamo che la frase sia **FALSA**, allora ciò che afferma è il contrario della realtà (non è vero che è falsa), e dunque diventa **VERA**!
Qualunque valore di verità le assegniamo, la frase si ribalta istantaneamente nel suo opposto creando un loop infinito (lo stesso meccanismo usato nei film di fantascienza per mandare in cortocircuito i robot!).
2. Il Paradosso del Barbiere di Bertrand Russell (1901-1918):
Per spiegare al grande pubblico il suo celebre paradosso sulla Teoria degli Insiemi (che mandò in fumo decenni di lavoro del matematico Gottlob Frege proprio mentre il suo libro era in tipografia!), il premio Nobel inglese Bertrand Russell raccontò questa storiella: *"In un villaggio c'è un unico barbiere uomo, il quale ha ricevuto dal sindaco l'ordine tassativo di radere tutti e soltanto gli uomini del villaggio che non si radono da soli"*. La domanda fatale è: **Il barbiere rade sé stesso oppure no?**
- Se il barbiere **SI RADE da solo**, allora fa parte di quelli che si radono da soli, e quindi per legge il barbiere **NON deve radersi**!
- Se invece il barbiere **NON si rade da solo**, allora rientra tra quelli che non si radono da soli, e quindi il barbiere **è obbligato a radersi**!
Fu proprio partendo da questi paradossi che nel 1931 il grande matematico Kurt Gödel dimostrò i suoi celebri "Teoremi di Incompletezza", provando che in ogni sistema matematico esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate all'interno del sistema stesso!
